Cinématique p.41 IV. \[x(0)=x(2\,k\pi/\omega)\quad\text{et}\quad y(0)=y(2\,k\pi/\omega) \quad\text{avec}\quad k\in \mathbb{Z}\] /MarkInfo << Un peu d’histoire Vecteur vitesse instantané d’un point matériel … Mécanique du point La mécanique du point est l'étude du mouvement des points matériels. La norme du vecteur accélération, que nous appellerons accélération et que nous noterons \(a\), se mesure en ��]G�2���1T��O)L0.�!U�9�Â.�:T��`���j%I]`�s::����m�C3��$�qT#���Ӑ�C�:TlX˥'��yM]&"�6ݾ��| ���A��4���&]F�J�D�nv���-�)�� ��S����@�^U�g�T!`����켏�o��6`. Ces deux vecteurs forment une base orthonormée. %PDF-1.5 La distance algébrique parcourue croît linéairement avec le temps. \] \left\{\begin{array}{rl} \] Dans le cas d'une trajectoire quelconque, on peut toujours appliquer cette relation entre deux instants suffisamment proches pendant lesquels le mouvement peut être considéré uniforme. III. Le vecteur vitesse du point M s’obtient en dérivant son vecteur position par rapport au temps : \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overline{\rm MM'}}{\Delta t} \overrightarrow{t} = Le vecteur accélération s'écrit TD de mécanique n 1 Cinématique du point matériel - mpsi publicité Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I. \qquad\Longrightarrow\qquad Cet espace est absolu et ses propriétés sont indépendantes de la matière qui s’y trouve. Le cercle osculateur est le cercle qui est tangent à la trajectoire en M et qui possède la même courbure en ce point. Exercices sur "cinématique du point matériel" Exercice 1 Les équations horaires du mouvement d’un point mo ile M sont : ( ) 0 ( ) 3 2 ( ) z t y t t x t t 1. \right) \[ v_{\rm M}=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}=R\omega \] Chap.1 – Cinématique du point matériel 1. \] * Les oscillateurs harmoniques. La distance parcourue \(d_{12}\) entre les instants \(t_1\) et \(t_2>t_1\) s'interprète comme l'aire sous la courbe donnant la vitesse au cours du temps, entre les instants \(t_1\) et \(t_2\) : Notez que si la vitesse est constante, on dit que le mouvement est uniforme et l'on a \(s(t)=vt+s(0)\). Etablir les ´equations horaires du mouvement des ´electrons entre les plaques de d´eviation, x(t) et y(t). \begin{equation} \begin{equation} Cette théorie remet en cause l’idée d’un espace euclidien inerte et indépendant de son contenu matériel. \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} La mécanique du point est l'étude du mouvement des points matériels. r\dot{\theta}=v_{\theta} \begin{equation} Il est alors traditionnel de noter \(x\) et \(y\) les coordonnées de M. Considérons un point M décrivant un mouvement plan muni d'un repère \((\text{O};\,\overrightarrow{u_{x}},\,\overrightarrow{u_{y}})\) d'équation paramétrique cartésienne : /MediaBox [ 0 0 595.32 841.92 ] /Length 128 Supposons que le mouvement soit toujours dans le même sens et que l'on oriente la trajectoire dans le sens du mouvement. Introduction à la cinématique du point matériel https://www.facebook.com/profile.php?id=100009085154704 >> << On en déduit que \(a=v^2/R\). Lorsque l’on effectue une rotation dans le sens direct de \(\pi/2\) du vecteur \(\overrightarrow{u_r}\), on obtient \(\overrightarrow{u_\theta}\). Alors que la cinématique permet d'étudier les relations entre les paramètres du mouvement (position, vitesse, accélération, etc. \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 &=& -R\omega^2\\ /Kids [ 5 0 R 50 0 R 52 0 R 71 0 R 93 0 R 97 0 R ] Calculer la vitesse des ´electrons au point A, ~vA, en fonction de v0,l et γ0. >> Chapitre I : Cinématique du point matériel I.1 : Introduction La plupart des objets étudiés par les physiciens sont en mouvement : depuis les particules élémentaires telles que les électrons, les protons et les neutrons qui constituent les atomes, jusqu'aux galaxies, … \end{array}\right. \frac{\mathrm{d} ^{2}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^{2}} \qquad\text{et}\qquad La distance parcourue par la lumière dans le vide pendant 1 seconde vaut, par définition du mètre, \[L = 299\,792\,458\;\mathrm{m}\] \qquad où \(v_{0}\) et \(s_{0}\) sont respectivement la vitesse algébrique et l’abscisse curviligne à l’instant \(t=0\). \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} Il continue avec une vitesse constante pendant 8 secondes et ralentit jusqu’à l’arrêt complet à accélération constante /Contents 6 0 R \text{M}\left\{\begin{array}{ccc} Il s’agit d’un mouvement rectiligne pour lequel l’accélération est constante. Accueil / Cinématique du point matériel - Ts. r\dot{\theta} &=& R\omega \text{M}\left\{ \begin{array}{ccc} une composante tangentielle liée au caractère non uniforme de la trajectoire ; une composante normale liée à la courbure de la trajectoire. Déterminer la trajectoire du point mobile. Finalement, les composantes de la vitesse sont simplement les dérivées temporelles des coordonnées de M. Si l’on note \(\dot{x}=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} t}\) et \(\dot{y}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t}\) on a. Considérons le mouvement plan d'équation paramétrique cartésienne : ©J.ROUSSEL - article sous licence Creative Commons. \] v_{r} &=& \dot r=0\\ \[ Elle repose sur une description euclidienne de l’espace et d’un temps absolu. Ensuite, on choisit un point particulier sur la courbe que nous noterons \(\text{M}_{0}\). \overrightarrow{v}_{\!\rm M}\cdot\overrightarrow{a}_{\!\rm M} = v_t\frac{\textrm{d}v_t}{\textrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\textrm{d}{v_t}^{2}}{\textrm{d}t} d_{12}=\int_{t_1}^{t_2} \left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert\, \mathrm{d}t /CS /DeviceRGB v_{\theta} &=&r\dot{\theta}=R\omega \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{t} \], \begin{equation} Il est donc centripète, c'est-à-dire dirigé vers le centre O du cercle. \overrightarrow{u_{\theta}}\mapsto -\overrightarrow{u_r} Par ailleurs, \(\text{OM}^2=x^{2}+y^{2}=R^{2}\) pour tout \(t\). \]. x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ et le nombre de tours effectués en 1 seconde s’appelle la fréquence \(\nu\) et se mesure en hertz en hommage à Heinrich RudolfHertzHeinrich Rudolf Hertz est né à Hambourg en Allemagne (1857-1894). Cinématique du point matériel, Dynamique du point matériel Théorèmes généraux, L’ensemble des exercices et examens résolus devrait permettre aux étudiants : de consolider leurs connaissances, un entrainement efficase afin de s’assurer que le cours est bien assimillé, x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ \] \end{equation}. Pour décrire le mouvement d’un corps matériel il est nécessaire de préciser par rapport à quel repère d’espace on fait les mesures de distance et par rapport à quelle horloge on mesure le temps. Si l'on décrit ce mouvement à l'aide des coordonnées polaires on obtient \] L’introduction du temps annonça la naissance de la physique moderne, sa disparition annoncera peut-être sa maturité... L’expérience montre que le mouvement possède un caractère relatif. D'une part, le vecteur vitesse est bien tangent au cercle puisque selon \(\overrightarrow{u_{\theta}}\). /F7 34 0 R De la même manière que les composantes du vecteur vitesse ne sont pas obtenues en dérivant les composantes du vecteur position, les composantes du vecteur accélération ne sont pas non plus obtenues en dérivant simplement les composantes du vecteur vitesse. En d’autres termes, on ne peut pas dire qu’un corps est “en mouvement” (ou “au repos”) sans préciser par rapport à quoi. La cinématique consiste uniquement à décrire les trajectoires de points en mouvement, sans s’occuper de ce qui peut être la cause de leur mouvement. \end{array}\right.\label{eq:meca_c1_2} \end{equation}. Les Chapitres De Module De Mécanique Du Point Matériel Pour (S1 _ SMPC) : Chapitre 1 : {Rappels Et Compléments Mathématiques.} La norme du vecteur vitesse, que nous appellerons vitesse, se mesure en \(\mathrm{m.s^{-1}}\). >> /S /Transparency Si l'on munit le plan d'un repère d'origine O (fixe dans le référentiel \(\mathcal{R}\)) et de deux directions indépendantes définies par la base \((\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})\), on peut toujours exprimer le vecteur position en fonction de ces deux vecteurs de base : y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. Dans le système polaire on définit \[ Si la date \(t_{A}\) repère l’événement A et \(t_{B}\) l’événement B, la durée \[\Delta t=t_{B}-t_{A}\] est indépendante de l’observateur et du choix arbitraire de l’origine des temps. On retiendra, Supposons maintenant que \(\theta(t)\) varie de façon quelconque. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v \overrightarrow{t}) = IV – Les mouvements à force centrale. y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \[ En substituant dans l’expression de l’accélération, on trouve les formules de Frenet : Le vecteur accélération possède donc deux composantes : On a vu que lors d'un mouvement circulaire uniforme de rayon \(R\), l'accélération est centripète et vaut \(v^2/R\). r(t) & = & R\\ Le postulat que fait Newton est de réduire le temps à une variable scalaire (à une dimension donc) qui croît continûment, ceci indépendamment de tout observateur et de tout phénomène. Le vecteur accélération est une grandeur d’évolution qui mesure la variation du vecteur vitesse, en norme et en direction. \text{M}\left\{\begin{array}{ccc} /Filter /Standard II – Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel. /F2 11 0 R En d´eduire l’´equation de la tra-jectoire y= f(x). Quand \(\Delta t\to 0\) la corde qui relie les points M et M’ tend vers la longueur d’arc \(\overset{\displaystyle\frown}{\rm MM}{}'\) de sorte que Trajectoire dans un référentiel 2. r\dot{\theta}\,\overrightarrow{u_{\theta}}\] Compositions des vitesses 4.1 Loi de composition des vitesses On considère un ascenseur qui démarre à l’instant initial G=0, avec une accélération de 1 m/s2 pendant 2 secondes. \[\overrightarrow{\text{OM}}=x\,\overrightarrow{u_x}+y\,\overrightarrow{u_y}\] \] << Elle est définie par la donnée des coordonnées en fonction du temps. Le vecteur vitesse est donc la dérivée du vecteur position. \[ On a déjà vu que Par exemple, au voisinage de la Terre, les lois d’Euclide ne sont pas rigoureusement vérifiées ; on observe des écarts relatifs de l’ordre de 10-9[2]. Les vecteurs unitaires étant fixes par rapport au référentiel d’étude, il suffit de dériver les composantes de la vitesse (on note \(\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\) etc.). Initialement, le mètre était défini à partir de la longueur du méridien terrestre : \(L = 40\,000\;\mathrm{km}\). L'application de la formule \eqref{eq:vitesse_en_polaire} donne \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\left(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{a}_{\!\rm M} \triangleq \end{array} Relativité du mouvement - Notion de référentiel 1.3. La cause est, pour tout observateur, antérieure à l’effet qu’elle produit. Point matériel 19 I.2. \overrightarrow{u_i}\cdot \overrightarrow{u_j}= >> /Author (\n��j���Js��Qh�`!X�m@�ݐ) \[ (Marc Aurèle). Chapitre 5 : {Application Forces Centrales.} Or, le vecteur unitaire \(\overrightarrow{t}\) change de direction au cours du temps puisqu’il est lié au mouvement de M. Par définition du rayon de courbure local \(R\) on a Les vecteurs unitaires étant fixes dans \(\mathcal{R}\), on \(\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_x}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_y}}{\mathrm{d} t}=\overrightarrow{0}\). \end{array}\right. Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil inextensible de longueur L. L'autre extrémité O1 du fil se déplace horizontalement le long de l'axe (Oj) r d'un repère O.N.D (O,i, j,k) r ℜ fixe tel que t j a OO r 2 1 2 = (a est une constante). OBJECTIFS DU MODULE MECANIQUE DU POINT MATERIEL: Initier l’étudiant aux notions fondamentales de la mécanique notamment la cinématique et la dynamique du point matériel et lui donner les notions de bases nécessaires à la maîtrise des fondements de la mécanique. Ainsi Entre deux instants, le trajet augmente proportionnellement à la durée : \(\Delta s=v_t\Delta t\). Cet axe est linéaire et non circulaire pour respecter un principe fondamental de physique qui, jusqu’ici, n’a jamais été infirmé : le Principe de Causalité. /Font << Autrement dit, le temps est irréversibleL’irréversibilité du temps traduit la course du temps, à ne pas confondre avec la flèche du temps qui traduit l’irréversibilité de certains phénomènes. Nous avons montré que la vitesse d’un point M repéré par ses coordonnées polaires s’écrit /Marked true \qquad\text{et}\qquad La mesure des durées s'effectue grâce à une horloge et nécessite la définition d'une unité de temps : la seconde du Système international. \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\left|\begin{array}{rcl} La théorie de la Relativité Générale inventée par A. Einstein en 1915 est une théorie relativiste de la gravitation. Ainsi. \(\omega\) désigne la vitesse angulaire instantanée. /Type /Group >> Entre deux instants \(t_{1}\) et \(t_{2}\) on a \(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2a(s_{2}-s_{1})\). Energie cinétique p.79 VI. \] Notion de point matériel 1.2. \theta(t) & = & \omega t\end{array}\right. endobj \ddot x&=&-R\omega^{2}\cos(\omega t)\\ Alors que la cinématique permet d'étudier les relations entre les paramètres du mouvement (position, vitesse, accélération, etc. \[ Chapitre 4 : {Etude Energétique.} Le mouvement est uniforme quand \(\theta\) augmente linéairement avec le temps : on définit arbitrairement, un sens positif le long de la trajectoire ; le vecteur unitaire \(\overrightarrow{t}\), dit, le vecteur unitaire \(\overrightarrow{n}\), dit. Méthode de travail: • Nous commencerons avec un petit résumé du cours avec les notions fondamentales à retenir. Une fois le référentiel choisi, la vitesse d’un point ne prend qu’une valeur à un instant \(t\). \text{M}\left\{\begin{array}{ccc} 1: CINÉMATIQUE DU POINT La cinématique consiste à analyser de façon purement mathématique le mouvement des corps en assimilant à des points matériels sans se préoccuper des causes de ce mouvement. Cette grandeur désigne le vecteur vitesse moyenne entre deux instants. En d´eduire l’angle α= d (~i,~v A). Si l'on fixe une origine en M\(_{0}=(R,0)\), alors l'abscisse curviligne est liée à l'angle \(\theta(t)=\omega t\) : Considérons un point M en mouvement sur une droite orientée et appelons \(s(t)=\overset{\displaystyle\frown}{\text{OM}}(t)\) l’abscisse curviligne algébrique par rapport à un point O de la droite. TD 4 Cinématique du point (4). : il n’est pas permis de remonter son passé. On s’accorde en général sur le fait que la physique moderne est née suite à l’introduction du temps mathématique par Galilée lors de ses travaux sur la chute libreGalilée, lors de ses premières expériences, utilisa son pouls pour décrire le mouvement de corps en chute libre sur des plans inclinés.. Newton formalisa plus rigoureusement l’idée d’un temps absolu et publia en 1687 l’ouvrage qui le rendit célèbre, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, dans lequel il fonde sa mécanique et où le temps devient une variable mathématique notée \(t\). Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec- On adopte alors la notation \(\overrightarrow{v}_{\!\text{M}/\mathcal{R}}\) pour désigner le vecteur vitesse du point M par rapport au référentiel \(\mathcal{R}\). Point matériel et relativité du mouvement 1.1. Par ailleurs, cette grandeur est vectorielle car le mouvement d'un point se caractérise par une direction et un sens, attributs des vecteurs d'espace. /F8 42 0 R \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overrightarrow{\rm MM'}}{\Delta t} = Le choix de la base est en général guidé par la symétrie du problème. endobj x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ >> Chapitre I : Cinématique du Point Matériel Mécanique du Point Matériel Hichem Chaabane ‐ Année 2011 ISITCom ‐ Hammam Sousse 5 O M m y x z z H , & , & Ë , & Ð La coordonnée correspond toujours à la projection orthogonale de y sur l’axe { , donc L { t $ 3 0 obj \[ Cours Mécanique : Chapitres 1,2,3,4,5,6 - Cinématique du point matériel - Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel - Télécharger Mécanique du point : tous les cours S1 \[ On associe à ces coordonnées deux vecteurs unitaires \(\overrightarrow{u_r}\) et \(\overrightarrow{u_{\theta}}\). \overrightarrow{v}_{\!\rm M}= x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ \dot{r}\,\overrightarrow{u_r}+r\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\mathrm{d}t} /P -1852 \[\overrightarrow{u_r}\mapsto \overrightarrow{u_{\theta}} Par exemple, un point M en mouvement circulaire de centre O garde une distance OM constante alors que sa vitesse est non nulle. << Il est des situations où il importe de préciser le point en mouvement et le référentiel d'étude. /Pages 4 0 R 6 0 obj \] Aujourd’hui, certains théoriciens pensent qu’il faut examiner à nouveau la question du temps physique et que le prix à payer pour aboutir à une théorie enfin unifiée de la Physique sera peut-être l’abandon du temps comme concept fondamental. \left|\begin{array}{c} /U <0788A8DB348352CC5AE48309C895B91328BF4E5E4E758A4164004E56FFFA0108> Chapitre 2 : {Cinématique Du Point Matériel.} Comment repérer la position d’un point dans l’espace 2.2. \] \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL Mécanique-M.P.S.I 1.2 Cinématique du point matériel La cinématique est la partie de la mécanique qui s’interesse aux mouvements des corps sans tenir compte des causes (Forces) 1.2.1 Définition du point matériel On appelle point matériel tout corps solide de dimension négligeable devant une On retrouve d'autre part le fait que la vitesse est constante et égale à \(v=R\omega\). /StructParents 0 /F3 15 0 R Reprenons le mouvement circulaire d'équation paramétrique cartésienne

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